4. .6 Representacion de funciones por serie de Taylor

 La función p(x)=a₀+a₁x+a₂x²+..........+a_nxⁿ, en la que los coeficientes a_k son constantes, se llama polinomio de grado n. En particular y=ax+b es un polinomio de primer grado e y=ax²+bx+c es un polinomio de segundo grado. Los polinomios pueden considerarse las funciones más sencillas de todas. Para calcular su valor para una x dada, necesitamos emplear únicamente las operaciones de adición, sustracción y multiplicación; ni siquiera la división es necesaria. Los polinomios son funciones continuas para todo x y tienen derivadas de cualquier orden. Además la derivada de un polinomio es también un polinomio de grado inferior en una unidad, y las derivadas de orden n+1 y superiores de un polinomio de grado n son nulas.

Si a los polinomios añadimos las funciones de la forma y=p(x)/q(x) (cociente de polinomios, para cuyo cálculo necesitamos también de la división), las funciones raíz cuadrada de x y raíz cúbica de x, y finalmente, las combinaciones aritméticas de los tipos anteriores, obtenemos esencialmente las funciones cuyos valores pueden calcularse por métodos aprendidos en el bachillerato.

A este nivel se tienen nociones de algunas otras funciones tales como log(x), sen(x), e^x, ..., pero, aunque se estudian sus propiedades más importantes, no se da una respuesta a las preguntas: ¿Cómo calcularlas? ¿Qué clase de operaciones, por ejemplo, es necesario realizar sobre la x para obtener log(x) o sen(x)?. La respuesta a estas preguntas la proporcionan los métodos desarrollados por el análisis matemático. Examinemos uno de estos métodos.

FUNCION DESARROLLO EN SERIE CONVERGE ∞ 1 xn = 1 + x + x2 + · · · + xn + · · · −1 < x < 1 1−x n=0 ∞ α n α(α − 1) · · · (α − n + 1) n (1 + x)α x = 1 + αx + · · · + x + ··· −1 < x < 1 n n! n=0 ∞ (−1)n−1 n 1 1 1 log(1 + x) x = x − x2 + x3 − x4 + · · · −1 < x ≤ 1 n 2 3 4 n=1 ∞ 1 n 1 1 ex x = 1 + x + x2 + x4 + · · · −∞ < x < +∞ n! 2 3! n=0 ∞ (−1)n 1 3 1 1 sen x x2n+1 = x − x + x5 − x7 + · · · −∞ < x < +∞ (2n + 1)! 3! 5! 7! n=0 ∞ (−1)n 2n 1 1 1 cos x x = 1 − x2 + x4 − x6 + · · · −∞ < x < +∞ (2n)! 2! 4! 6! n=0 ∞ 1 · 3 · 5 · . . . · (2n − 1) x2n+1 1 3 5 arc sen x · = x + x3 + x + ··· −1 ≤ x ≤ 1 2 · 4 · 6 · . . . · (2n) 2n + 1 6 40 n=0 ∞ (−1)n 2n+1 1 1 1 arc tg x x = x − x3 + x5 − x7 + · · · −1 ≤ x ≤ 1 2n + 1 3 5 7 n=0