Definición de integral definida. Área bajo la gráfica de una función

Sea $\mathrm{f}$ una función continua en el intervalo $\left( <pre> \, a, \, b \, </pre> \right)$ , tal que $\mathrm{f}$ toma solo valores NO negativos en dicho intervalo ( $\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \ge 0, \, \forall x \in \left( \, a, \, b \, \right)$ ).

Nos planteamos el siguiente problema: ¿Como podemos calcular el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones $x = a$ y $x = b$ , la grafica de la función $\mathrm{f}$ y el eje X? El área que queremos calcular corresponde a la superficie coloreada de azul en la figura de abajo:

Este area es el valor de la integral entre $a$ y $b$ de $\mathrm{f}$ y la denotamos por:

$\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x$

Esta integral se trata de una integral definida. Una integral definida es, por tanto, un número, mientras que una integral indefinida es una familia de funciones ( el conjunto de primitivas de la función que se integra ).

Veamos una manera de dar una solución aproximada al problema que nos planteabamos ( el calculo de dicha area ).

Dividimos el intervalo $\left( <pre> \, a, \, b \, </pre> \right)$ en $n$ intervalos de la misma longitud $\left( <pre>\, \frac{b - a}{n} \, </pre> \right)$ . Los limites de estos intervalos mas pequeños son:

$x_0 = a, \, x_1 = a + \frac{b - a}{n}, \, \ldots, \, x_n = b$

donde $x_i = a + \frac{b - a}{n} \cdot i$ .

Para $i = 1, \, 2, \, \ldots, \, n$ contruyamos el rectangulo cuya base es el intervalo $\left( \, x_{i-1}, \, x_i \, \right)$ y cuya altura es de longitud $\mathrm{f} \left( \, x_{i-1} \, \right)$ .

Haciendo esto para $i = 1, \, 2, \, \ldots, \, n$ , terminamos con $n$ rectangulos. La suma de sus areas es una aproximación al area bajo la grafica de $\mathrm{f}$ que queremos calcular.

En general, cuanto mayor sea $n$ mejor aproximación sera la suma de las areas de los rectangulos a $\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x$ .

Así, cuando $n = 2$ :

uno podria esperar que la aproximación obtenida sea peor que si se considera un número mayor de rectangulos, por ejemplo $n = 4$ :

Llamemos $S_n$ a la suma de los rectangulos así construidos. Se tiene que:

$S_n \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} \int_a^b \mathrm{f }\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x}$

Es decir, $S_n$ tiende a $ <pre>\int_a^b \mathrm{f }\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x </pre> $ cuando el número de rectangulos, $n$ , tiende a infinito.

En todo lo que hemos visto hasta ahora hemos supuesto que la función $\mathrm{f}$ toma valores NO negativos en el intervalo $\left( \, a, \, b \, \right)$ . ¿Que pasaría si $\mathrm{f}$ tomase valores NO positivos en dicho intervalo? En este caso, ¿como podemos calcular el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones $x = a$ y $x = b$ , la grafica de la función $\mathrm{f}$ y el eje X?

Casi todo lo dicho con anterioridad para el caso $\mathrm{f} \ge 0$ seria aplicable al caso $0 \ge \mathrm{f}$ , pero ahora:

$S_n \overset{n \to \infty}{\longrightarrow} -\int_a^b \mathrm{f }\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x}$

y el area sobre la grafica de la función es

$-\int_a^b \mathrm{f }\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x}$

siendo la integral definida $\int_a^b \mathrm{f }\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x}$ NO positiva porque $0 \ge \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in \left( \, a, \, b \, \right)$ .