areas

área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).

Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.

3.1 áreas bajo la gráfica de una función

Definición de integral definida. Área bajo la gráfica de una función

Sea  una función continua en el intervalo   ,   tal que  toma solo valores NO negativos en dicho intervalo   (  ).

Nos planteamos el siguiente problema: ¿Como podemos calcular el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones      y   ,   la grafica de la función  y el eje X? El área que queremos calcular corresponde a la superficie coloreada de azul en la figura de abajo:

Este area es el valor de la integral entre  y  de  y la denotamos por:

Esta integral se trata de una integral definida. Una integral definida es, por tanto, un número, mientras que una integral indefinida es una familia de funciones ( el conjunto de primitivas de la función que se integra ).

Veamos una manera de dar una solución aproximada al problema que nos planteabamos ( el calculo de dicha area ).

Dividimos el intervalo      en  intervalos de la misma longitud    . Los limites de estos intervalos mas pequeños son:

donde  .

Para      contruyamos el rectangulo cuya base es el intervalo      y cuya altura es de longitud   .

Haciendo esto para   ,   terminamos con  rectangulos. La suma de sus areas es una aproximación al area bajo la grafica de  que queremos calcular.

En general, cuanto mayor sea  mejor aproximación sera la suma de las areas de los rectangulos a   .

Así, cuando  :

uno podria esperar que la aproximación obtenida sea peor que si se considera un número mayor de rectangulos, por ejemplo   :

Llamemos      a la suma de los rectangulos así construidos. Se tiene que:

Es decir,      tiende a     cuando el número de rectangulos, , tiende a infinito.

En todo lo que hemos visto hasta ahora hemos supuesto que la función  toma valores NO negativos en el intervalo   .   ¿Que pasaría si  tomase valores NO positivos en dicho intervalo? En este caso, ¿como podemos calcular el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones      y   ,   la grafica de la función  y el eje X?

Casi todo lo dicho con anterioridad para el caso      seria aplicable al caso      , pero ahora:

y el area sobre la grafica de la función es

siendo la integral definida      NO positiva porque   .

3.2 longitud de curva

Longitud de curvas planas

La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible.

Definición:

Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es suave y su gráfica es una curva suave.

Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño segmentos de recta se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras y (dL)²=(dx)²+(dy)², de tal forma que sumando todos los diferenciales resulta:

Definición:

Si f es suave en [a,b], la longitud de la curva de f(x) desde a hasta b es:

3.3 calculo de volúmenes de sólidos en revolucion

3.4 calculo de centroides

CENTROIDES El centroide es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su localización puede determinarse a partir de formulas semejantes a las utilizadas para determinar el centro de gravedad o el centro de masa del cuerpo, el centroide nos ayuda a encontrar el punto en el que se concentra las fuerzas que actúan sobre una figura irregular, o figuras geométricas no muy conocidas, por ejemplo el centroide nos ayudaría a encontrar el punto en el que se concentran las fuerzas de un puente

Se consideran tres casos específicos:

VOLUMEN. Si un objeto se subdivide en elementos de volumen dv, la localización del centroide para el volumen del objeto se puede determinar calculando los momentos de los elementos en torno a los ejes de coordenadas. Las formulas que resultan son:

X = “ x dv Y = “ y dv Z = “ z dv

“ dv “ dv “ dv

AREA. De manera semejante, el centroide para el area superficial de un boleto, como una planca o un casco puede encontrase subdividiendo el area en elementos diferentes dA y calculando los momentos de estos elementos de area en torno a los ejes de coordenadas a saber.

X = “ x dA Y = “ y dA Z = “ z dA

“ dvA “ dA “ dA

LINEA. Si la geomentria del objeto tal como una barra delgada un alambre, toma la forma de una linea, la manera de encontrar su centoide es el siguiente:

X = “ x dL Y = “ y dL Z = “ z dL

“ dL “ dL “ dL

3.5 aplicaciones

4.1 Series

4.1 Definición de series 

4.1.1 Finita 

En matemática, un conjunto finito es un conjunto que tiene un número finito de elementos. Por ejemplo {2, 4, 6, 8, 10} es un conjunto finito con cinco elementos. La cardinalidad o número de elementos de un conjunto finito es igual a un número natural.

Si un conjunto no es finito, entonces es infinito. Por ejemplo, el conjunto N = {1, 2, 3, ...} de los números naturales es infinito. Todo conjunto finito es un conjunto numerable, puesto que sus elementos pueden contarse, pero la recíproca es falsa: existen conjuntos infinitos y numerables (como el propio N).

Los conjuntos finitos son particularmente importantes en combinatoria.

Un conjunto finito A es aquel que puede ponerse en correspondencia biunívoca con el conjunto {1, 2, ..., n} para algún número natural n.

Que pueda establecerse una correspondencia biunívoca significa que los elementos de A y los de {1, 2, ..., n} pueden emparejarse uno a uno, sin que sobre ningún elemento de ninguno de los dos conjuntos. Al número n se le denomina el cardinal de A (o su cardinalidad, su potencia, etc.), y se denota por card(A), |A| o #A. El conjunto vacío ∅ no tiene elementos, |∅| = 0, por lo que también es finito.

La definición de conjunto finito en teoría axiomática de conjuntos presenta algunas sutilezas (véase Conjunto infinito).

4.1.2 Infinita 

El concepto de infinito aparece en varias ramas de la filosofía,¹ la matemática y la astronomía,² en referencia a una cantidad sin límite o final, contrapuesto al concepto de finitud.³

En matématicas el infinito aparece de diversas formas: en geometría, el punto al infinito en geometría proyectiva y el punto de fuga en geometría descriptiva; en análisis matemático, los límites infinitos, olímites al infinito; y en teoría de conjuntos como números transfinitos.

Los conjuntos finitos tienen una propiedad "intuitiva" que los caracteriza; dada una parte propia de los mismos, ésta contiene un número de elementos menor que todo el conjunto. Es decir, no puede establecerse una biyección entre una parte propia del conjunto finito y todo el conjunto. Sin embargo, esa propiedad "intuitiva" de los conjuntos finitos no la tienen los conjuntos infinitos, y formalmente decimos que:

Un conjunto  es infinito si existe un subconjunto propio  de , es decir, un subconjunto  tal que , tal que existe una biyección  entre  y .